[신호처리] Lec 03 - Convolution

Precaution

본 게시글은 서울대학교 이종호 B 교수님의 SNU FastMRI Challange, 2021 Signal Processing을 바탕으로 제작되었습니다.

Convolution

• 1D convolution : for LTI system, if impulse response at index $n \ \text{is} \ h(n)$,

\[\begin{aligned} x(n)& \rightarrow \lbrack h(n)\rbrack \rightarrow y(n)\\ y(n) &= \sum x(k) h(n-k)\\ &=x(n) * h(n)\end{aligned}\]

• 신기한 점은, System에 대한 Transfer function을 정의하지 않고, Dirac’s Delta의 정의를 이용한 Impulse response만으로 convolution 관계를 얻어낼 수 있다는 것이다.
  • What convolution actually do ?

  파란색이 $x(n)$, 주황색이 $h(n)$이라고 하자. 먼저 $h(n)$을 Flip(x축에 대해 대칭) 한다. 이후 한칸씩 전진시키며, 파란색과 만날 때마다 겹친 부분의 곱을 모두 합한 것을 기록한다.

  일반적으로 알고 있는 convolution을 정말 잘 시각화 한 예시인 것 같아 풀로 긁어옴.

Convolution의 input인 두 1차원 함수가 겹침에 따라 아래쪽 plot에 값이 생성됨을 알 수 있다

• 2D convolution :

  • Zero-padded 2D image

    

    Zero-Padded 5x5 input image

  • Point-spread function ( works as I.R.F at 1D conv.) Zero Padding은 Point-spread function의 dimensionallity 에서 1만큼 제하여서 적용됨. (Meaningful한 값을 output signal로 얻어내려면 자명)

    

  • How to evalutate?

    1. Flip the point spread function. (x축 대칭을 적용한 것 처럼, 원점 대칭 적용)
    2. 이후 Input signal을 point spread function의 크기의 필터를 씌운 것 처럼 잘라내어 element-wise multiplication을 적용하고 sum한 값을 Output singnal에 값에 집어넣는다.