[신호처리] Lec 02 - LTI system

Precaution

본 게시글은 서울대학교 이종호 B 교수님의 SNU FastMRI Challange, 2021 Signal Processing을 바탕으로 제작되었습니다.

System

System

a process in which input signals are transformed by the system, resulting in other signals as output.

• CT, DT, Digital 등 종류에 상관없이 Input과 Output이 signal이면 됨.
• Linearity of the system
  • We call system linear if the system satisfies two properties : Scaling property, Superposition.

\[\begin{aligned} &x(t) \rightarrow p(t), \ y(t) \rightarrow q(t) \\ &ax(t)+by(t) \rightarrow ap(t) +bq(t)\end{aligned}\]

• Time Invariance
  • image 에서는 Shift(or space) invariance

\[\begin{aligned} x(t) &\rightarrow y(t), \\ x(t-t_0) &\rightarrow y(t-t_0)\end{aligned}\]

• Using Dirac’s Delta property,

\[\begin{aligned} &x(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k) \delta(n-k) \text{ at D.T}\\ &x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(k) \delta(t-k) dt \end{aligned}\]

• 동일한 방법으로 Output signal에 대해서도 이를 적용할 수 있다. System이 signal에 가하는 transform을 $y(n) = \mathbf{H}(x(n))$이라 하자.

\[\begin{aligned} y(n) &= \mathbf{H}(x(n)) \\ &=\mathbf{H} \{\sum_{k=-\infty}^\infty x(k) \delta(n-k) \} \\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty x(k) \mathbf{H} \{\delta(n-k)\} \text{(by Linearity)} \end{aligned}\]

• Impulse response

  output of system when input is impulse.

\[h(n) :=\mathbf{H} \{\delta (n) \}\]

• Time Invariant하다는 성질을 이용해 output signal을 impulse response와 input signal로 표현할 수 있다.

\[\begin{aligned} y(n) &= \sum_{k=-\infty}^\infty x(k) h(n-k) \\ &=x(n) \ * \ h(n) \ \text{(Convolution)} \end{aligned}\]

• 유사하게 CT에서의 convolution 또한 정의할 수 있다.