[제어공학개론] Lec 05 - Transfer function to S.S representation

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본 게시글은 서울대학교 심형보 교수님의 23-2 제어공학개론 수업 내용을 바탕으로 작성되었습니다.

State-space Realization

How to convert transfer function to state-space representation?

\[\begin{aligned} &\text{given, } T(s) = \frac{2}{s^3+3s^2+2s-1} \\ &y^{(3)} + 3\ddot y + 2 \dot y - y = 2 u \\ &\text{let } x_1= y, x_2 = \dot y, x_3 = \ddot y \end{aligned}\]

State-space representation of T. F

\[\begin{aligned} \dot x_1 = x_2, \dot x_2 = x_3,& \dot x_3 = -3x_3-2x_2+x_1+2u \\ A &= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{aligned}\]

if there’s numerator polynomial?

Let’s modify some of the terms in T.F above

\[\begin{aligned} T(s) &= \frac{s^2+s+2}{s^3+3s^2+2s-1} \\ y^{(3)} + 3\ddot y + 2 \dot y - y &= \ddot u + \dot u +2 u \\ \text{first, let } &x_1= y, x_2 = \dot y, x_3 = \ddot y \end{aligned}\]

Transfer function을 2개의 Transfer function의 곱으로 나타내기 (num, denom)

\[\begin{aligned} T(s) =T_1(s)\cdot T_2(s) &= \frac{1}{s^3+3s^2+2s-1} \cdot \frac{s^2+s+2}{1} \\ u(t) \rightarrow \bar y(t) \rightarrow y(t) \end{aligned}\]

중간 변수의 설정으로, 다음과 같은 식이 만들어짐

\[\begin{aligned} y^{(3)} + 3\ddot y + 2 \dot y - y &= \bar y \\ \text{(real) } y &= \ddot{\bar y} +\dot{\bar y} + 2\bar y \end{aligned}\]

ss representation of T. F :

\[\begin{aligned} \therefore \bar y &= [x_1, x_2, x_3]^T \\ y &= x_3 + x_2 + x_1 \\ A &= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix}2 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{aligned}\]

$B$ : $[0, 0, 1]^T$ since 중간 결과 = $1 \cdot \bar y$

결국 T.F의 numerator는 발산여부에 관여하지 않는것을 간접적으로 알 수 있음. 왜냐하면 numerator는 $B$ matrix를 수정하게 되는데, 이를 수정하여도 $A$는 건들여지지 않으므로, $A$의 characteristic polynomial의 값에 관여하지 않음.

if there’s quotient in Transfer function?

consider

\[T(s) = \frac{5s^4+2s^3+5s+6}{s^4+2s} = 5+ \frac{2s^3-5s+6}{s^4+2s}\]

$D$ = 5 (입력 신호가 5배의 gain을 얻어 그대로 출력 신호에 전달됨)

Transpose of a matrix changes T. F?

Transfer function in matrix form

\[\begin{aligned} TF(s) &= C(sI-A)^{-1}B \\ &= B^T (sI-A)^{-T}C^T \end{aligned}\]

Then, differential equation follows

\[\begin{aligned} \dot x &= A^T x + C^T u \\ y &= B^T x \end{aligned}\]