[제어공학개론] Lec 04 - S.S. representation, conversion to T.F.

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본 게시글은 서울대학교 심형보 교수님의 23-2 제어공학개론 수업 내용을 바탕으로 작성되었습니다.

Exercise of linearization of nonlinear system

Consider virus system :

\[\begin{aligned} \dot w_1 &= -w_1 - w_1w_2+v \\ \dot w_2 &= -w_2-w_1w_2 \\ \dot w_3 &= -w_3+w_2 \\ z & = w_1 \end{aligned}\]

1. select $v^*$ first.

\[\begin{aligned}0 &= -w_1 - w_1w_2 + v^* \\ v^* &= w_1(1+w_2) \end{aligned}\]

1. solve for multiple equibrilium point

\[\begin{aligned} w_2(1-w_1) &= 0\\ w_2 &= w_3 \end{aligned}\]

1. solve equation about $w_i$ to figure $w^*$ s

\[\begin{aligned} w_1&=1 \\ w_2 &= v^-1 \\ w_3 &= v^-1 \\w_2&=0 \\ w_1 &= v^* \\ w_3 &= 0 \end{aligned}\]

1. Calculate Jacobians

\[\begin{aligned} A &= \frac{\partial f}{\partial w} = \begin{bmatrix}-1-w_2 & -w_1 & 0 \\ w_2 & -1+w_1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}_{w^*, v^*} \\ B &= \frac{\partial f}{\partial v} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\ C &= \frac{\partial h}{\partial w} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ D &= \frac{\partial h}{\partial w} = [0] \end{aligned}\]

1. calculate for each equibrilium
   • case 1 :

\[(w^*, v^*)=(\begin{bmatrix}1 & v^1 & v^1\end{bmatrix}^T, v^*)\] \[\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix}-v^* & -1 & 0 \\ v^*-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix} \\ B &=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\ C &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{aligned}\]

• case 2

\[(w^*, v^*)=(\begin{bmatrix}v^* & 0 & 0\end{bmatrix}^T, v^*)\] \[\begin{aligned} A&= \begin{bmatrix}-1 & -v^* & 0 \\ 0 & -1+v^* & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix} \\ B &=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\ C &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ D&=[0] \end{aligned}\]

How computer solves Differential Equation

$\dot x = f(x, u), x(0)=\text{given}$

연립 1차 미분방정식으로 전환하여 (state space Representation이 계산이 편함)

\[\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]

컴퓨터는 limit를 계산할 수 없으므로, 매우 작은 value의 h에 대해,

\[x(t+h) \approx x(t)+hf(x(t), u(t))\]

h를 늘려가며 Plot하는 방식을 택함.

state space representation to Transfer function

전체 식을 Laplace transform 해보자.

\[\begin{aligned} sX(s)-x(0) &= AX(s)+BU(s) \\ Y(s) &= CX(s) +DU(s) \end{aligned}\]

$X(s)$를 없애기 위해 위 식을 풀어보자

\[\begin{aligned} (sI-A)X(s) &= BU(s)+x(0) \\ X(s) &= (sI-A)^{-1}Bx(0)+(sI-A)^{-1}BU(s) \end{aligned}\]

첫번째 term은 initial value에 의한 출력.

Definition of transfer function holds if initially at rest

2번째 식에 대입 :

\[\begin{aligned}Y(s) &= (C(sI-A)^{-1}B + D)U(s) \\ \therefore T(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} &= C(sI-A)^{-1}B+D \end{aligned}\]

Another representation of Transfer function :

\[T(s) = C\frac{adj(sI-A)}{det(sI-A)}B+D\]

T(s)에서 나눗셈 연산을 수행하는 term은 determinant 계산 Term밖에 없는데, 결국 Transfer function의 pole을 결정하는 부분은 오직 A의 characteristic polynomial의 해 밖에 없음을 암시 (pole-zero cancellation이 없다면)

Transfer function : only holds at TI system

Time varying일 경우, A, B, C, D가 상수가 아닌 Time의 term이 포함되어 있는데, 이러면 Laplace 결과가 위 식과 같이 나오지 않음.

즉, Transfer function은 time invarient system에서만 사용.

Impulse response of ss representation

for impulse($u(t) = \delta (t)$), what should be the initial value of response?

\[\begin{aligned} x(0-) &= [0, 0, 0,\cdots, 0]^T, x(0+) = \text{?} \\ \int_{0^-}^{0^+}\dot x dt &= \int_{0^-}^{0+}Bu(t) dt \\ x(0+)-x(0-) &= 0+B \cdot 1 \\ x(0+) &= B, \dot x = Ax \text{ for }x>0 \end{aligned}\]