Chap 12 Partial Differential Equations

• PDE : 다변수, 편미분이 개입되어 있는 함수의 미분방정식

12.1 Basic Concepts of PDEs

• 편미분이 개입되어 있는 식

Order of PDEs : 가장 높은 미분의 수

2nd order PDEs 가 가장 중요.

Linear PDE : 선형 편미방

ex)

x_2_ux + xyuy + uxx + sin x = 0

Linear (함수의 미분이 1차만 개입되어 있음)

if sin _x_가 없으면, Homogeneous

ux_2 + 3_uy = 0

Not Linear (1st order)

ux + x_2_uyy = 0

Homogeneous linear (2nd order)

Ex. 2계 편미방 중 중요한 편미방의 소개

모두 Linear, 푸아송 방정식 제외하고 Homogeneous

• 1차원 파동 방정식

  \[{\partial^2 u \over \partial t^2 }= c^2{\partial^2 u \over \partial x^2}\]

• 1차원 열 방정식

  ${\partial u \over \partial t} = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2}$

• 2차원 라플라스 방정식

  for u(x, y)

  ${\partial^2 u \over \partial x^2}+{\partial^2 u \over \partial y^2} = 0$

• 2차원 푸아송 방정식

  ${\partial^2 u \over \partial x^2} + {\partial ^2 u \over \partial y^2} = f(x,y)$

• 2차원 파동 방정식

  ${\partial^2 u \over \partial t^2} = c^2 \bigg({\partial^2 u \over \partial x^2} + {\partial^2 u \over \partial y^2}\bigg)$

• 3차원 라플라스 방정식

  ${\partial^2 u \over \partial x^2}+{\partial^2 u \over \partial y^2}+{\partial^2 u \over \partial z^2} = 0$

stance ) 아무리 작은 영역에서도 1개 이상의 해를 구하기.

Ex) consider

${\partial^2 u \over \partial x^2}+{\partial^2 u \over \partial y^2} = 0$

많은 해가 존재. 유일성이 아닌, 존재성에 집중.

• Theorem

if u_1, _u_2 are solutions of a homogeneous linear PDE in region R, then so is _u = _c_1_u_1 + _c_2_u_2

해가 vectorspace의 구조를 가지고 있음. basis를 구하는 방법으로 접근 가능.

• PDE지만 ODE처럼 풀 수 있는 PDE들

uxx − u = 0

u(x, y) = A(y)ex + B(y)e−x

uxy = −u(x)

let ux = P

Py = −P

P(x, y) = C(x)e−y

u(x, y) = f(x)e−y + g(y)

12.2 Modeling : Vibrating String, Wave Equation

u(x, t) : 변위. 시간 t에서 길이 x에서 수직 방향으로 올라간 길이

Homogeneous (균일한), Perfectly Elastic(완전탄성), Bending (굽힘에 대한 저항이 없음.) String

중력 « 장력이므로, 중력 무시 가능

선은 수직 운동만 한다.

변위 (u(x, t))는 매우 작다

$ x, x+x $ 에서 작용하는 장력.

수평방향 장력은 초기 조건에 의해 정해져 있음. 즉 장력의 수평 방향 성분은 같다.

T_1cos _α = T_2cos _β = T

$T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho \Delta x {\partial^2 u\over \partial t^2}$

아래 식을 T로 나누면,

양변을 _Δx_로 나누면,

${ {\partial u \over \partial x}(x+\Delta x, t) - {\partial u \over \partial x}(x, t) \over \Delta x } ={\rho \over T} {\partial^2 u \over \partial t^2}$

when Δt → 0

${\partial^2 u \over \partial t^2} = {T \over \rho} {\partial ^2 u \over \partial x^2}$

denote $C^2 = {T\over \rho}$

1차원 파동방정식 (1-dimensional wave equation)

12.3 Solution by seperating variable use of Fourier Series

앞선 파동 방정식에서의 Boundary condition

u(0, t) = u(L, t) = 0 for all t ≥ 0

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L

then let

u(x, t) = F(x)G(t)

u(x,t)가 x만의 함수와 t만의 함수의 곱으로 나타내 보자.

$F\ddot G = c^2 F’‘G$

${\ddot G \over c^2 G} = {F’’ \over F}$

좌변을 x로 편미분 / 우변을 t로 편미분 하면 0이다. 즉 식의 값은 상수일 수밖에 없다.

• Trivial Solution (0함수) 등을 배제하고 nontrivial solution을 찾아야 함.

${F’’ \over F} = k$

1. k = 0, boundary condition(u(0, t) = 0, u(L, t) = 0)에 의하여 F = 0일 수 밖에 없음.
2. k = _μ_2 > 0 인 경우,

F(x) = Aeμx + Be−μx

여기서 boundary condition을 풀게 되면 F=0이 되어 버림.

1. k = −p < 0 인 경우,

   2

F(x) = A_cos _px + B_sin _px, F(0) = 0, A = 0

F(L) = 0, Bsin(pL) = 0, pL = nπ

$p = {n\pi \over L}, n\in \Z$

즉 k<0에서 만족함을 알 수 있음.

그렇다면 Fn(x)를 정의하고 이를 풀어보자.

$n=1,2,3,4,5,\cdots \\ F_n(x) = \sin {n\pi x\over L}$

구한 k를 이용하여

${\“G \over c^2 G} = k$

$k = -p^2 = -\bigg({n\pi \over L}\bigg)^2$

$\“G + \lambda_n^2 G = 0 , \lambda^n = cp = {cn\pi \over L}$

Gn(t) = Bn_cos (_λnt) + _Bnsin (_λnt*)

F쪽은 계수 안써주고 G_n은 계수 써준 이유 : F와 G를 곱하여 u를 만드므로 한쪽에는 안곱해주기.

Bn, Bn*은 서로 일차독립임.

n=0, n<0인 경우에는 Trivial하거나 양수인 경우와 일차종속이므로, 일차 독립인 경우만 최대한 많이 나열하기 위해 n=자연수 조건 이용

which satisfies

• ${\partial^2 u \over \partial t^2} = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2}$
• u(0, t) = u(L, t) = 0 for t ≥ 0

$Let \ u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x,t)$

$u(x,0) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin {n \pi x \over L} = f(x)$

f(x)의 Fourier Sine Series 로 _Bn_을 잡아주면 Initial Condition이 성립하게 됨.

f, g는 [0, L] 에서만 정의되어 있으므로, 임의로 [-L, L]에서 정의되는 기함수로 가정해도 무방.

가 파동방정식의 해임을 알 수있음.

if g(x)=0,

$f* := f(x) (0\leq x<L), \ -f(-x) \ (-L<x<0), \\ f(x+2L) = f(x)$

$ u(x,t) $ is a solution provided that $f(x) $ is twice differentiable on 0 < x < L and has one-sided 2nd derivative at x=0 and x=L which is 0

f*로의 기함수 확장에서 2번 미분한 것이 0에서 연속이려면 f’’(0)=0이어야 함. $$

12.4 D’Alembert’s solution of the wave equation

• 이변수 함수인 u(x,t)
• 치환을 위해 새로운 변수를 도입하자.

v = x + ct, w = x − ct

위 행렬의 행렬식은 절대 0이 아니므로 (c > 0) 두 변수 v, w가 독립성이 유지됨.

ux = uv ⋅ vx + uw ⋅ wx = (uv, uw) ⋅ (vx, wx)

(연쇄법칙, inner product로 정리)

w/ same method,

utt = c_2(_uvv − 2uvw + uww)

파동방정식에 대입해보자.

$u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ \text{finally, }u_{vw} = 0$

어떤 함수를 w로 편미분 해서 0이라는 것은,

let ∫h(v)dv = ϕ(v),

u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct)

• D’Alembert’s solution satisfying the initial conditions

  \[u(x,0) = f(x) \\ u_t(x,0) = g(x)\] \[u(x,0) = \phi(x)+\psi(x) = f(x) \\ u_t(x,t) = c\phi'(x+ct)-c\psi'(x-ct) = c\big(\phi'(x)-\psi'(x)\big)=g(x)\]

  $\phi(x)-\psi(x) = {1\over c} \int_{x_0}^x g(s) ds + k(x_0)$

  적분 상수를 맞추기 위해 k(x_0) = _ϕ(x_0) − _ψ(_x_0)

  최종적으로 ϕ, _ψ_를 구하기 위해 더하고/빼서 2로 나눔.

  \[\phi(x) = {1\over 2} f(x) + {1\over 2c} \int_{x_0}^x g(s)ds + {1\over 2} k(x_0) \\ \psi(x) = {1\over 2} f(x) - {1\over 2c} \int_{x_0}^x g(s)ds - {1\over 2} k(x_0)\]

  $u(x,t) = \phi(x+ct) + \psi(x-ct) \\ = {1\over 2} \bigg(f(x+ct) + f(x-ct)\bigg) + {1\over 2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds$

• 초기조건을 걸어주었을 때 가정이 없었으므로, 파동방정식의 해의 유일성이 있음을 알 수 있음 (initial condition만으로도 유일성이 보장됨을 알 수 있음)

12.5 Heat Flow

${\partial u \over \partial t} = c^2 \nabla^2 u, \ c^2 = {k \over \sigma \rho}$

k : 열 전도율, σ : 비열, ρ : 밀도

when laplacian operator is

$\nabla^2 u = {\partial^2 u \over \partial x^2} + {\partial^2 u \over \partial y^2} + {\partial^2 u \over \partial z^2}$

12.6 Heat Equation : Solution by Fourier Series

Steady 2-dimensional Heat Problem (Dirichlet Problem)

• 더 쉬운, One-dimensional Heat equation

${\partial u \over \partial t} = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2}$

Boundary condition : 양 끝의 온도는 0

u(0, t) = 0 = u(L, t)

Initial condition : given by f(x)

u(x, 0) = f(x)

당연하게도,

f(0) = f(L) = 0

Let u(x,t) = F(x)G(t)

FĠ = c_2_F″G

${\dot G \over c^2G} = {F’’\over F} = k \ \text{(constant)}$

$ u =0$ 이 아닌 nontrivial solution을 찾아야 하므로,

$u = F(x)G(t) \\ u(0,t) = F(0)G(t) = 0 \\ u(L,t) = F(L)G(t)=0$

for nontrivial solution, F(0) = F(L) = 0$

k=0이면, F=0, u=0이므로 trivial solution이 나옴.

k>0이면, F가 exp로 표현되므로, 계수가 B.C에 의해 0이 나와 동일하게 F=0, u=0이 나옴.

• let k = −_p_2 , F쪽을 풀어보면,

  $F’‘+p^2F = 0 \\ F(x) = A\cos px + B\sin px \\ F(0)= 0,\ \therefore A=0$

  $F(L)=0, \ \therefore pL=n\pi, \ n \in \Z$

  $F_n (x) = \sin {n\pi x\over L}$

$\dot G + c^2p^2G=0 \\ \lambda_n^2 = c^2 ({n\pi \over L})^2 \\ \lambda_n = {cn\pi \over L}$

• n이 자연수인 경우만 고려. (n=0은 trivial하고, n<0인 경우는 n>0인 경우와 일차종속. (_B_의 계수가 음수이므로))

  n

$\text{Let } u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x,t)$

which satisfies u(x, 0) = f(x)

expotential 항들은 다 1이 됨. (t=0)

Bn을 정할 때,

$\therefore B_n \sin {n\pi x \over L} = f(x)$

즉, B_n은 f(x)의 Fourier sine series의 계수로 하면 되는구나.

f(x)는 [0, L]에서 정의되었으므로 그 이후 범위는 임의로 잡아도 됨.

$B_n = {2\over L } \int_0^L f(x) \sin {n\pi x\over L} dx$

finally,

is a solution if

f(x) is piecewise continuous on $0x L $ and has one-sided derivatives in 0 < x < L

• Ex)

${\partial u \over \partial t} = c^2 {\partial^2 u \over \partial dx^2}$

ux(0, t) = 0 = ux(L, t)

(절연, 양 끝점에서의 길이에 대한 온도의 변화가 0임)

u(x, 0) = f(x)

• Solution : 해를 구할 때 sin이 없어지고 대신 cos가 생기게 되므로, 이후 과정은 동일함

$A_0 = {1\over L} \int_0^L f(x) dx = {2\over L} \int_0^L f(x) \cos{n\pi x \over L}$

• Consider “Steady” Two-dimensional Heat equation

but steady condition, differential over time is zero.

(Laplace Equation)

what is u(x, y)?

u is given on C  = ∂_R_Dirichlet Problem

• Dirichlet Problem in a rectangle R

consider a rectangle in x,y plane.

[0, 0], [a, 0], [0, b], [a, b]

4개의 변에 대해서 각 한개씩의 변만 f(x)가 되고 나머지 변에서는 u=0이 되도록 하여 구한다.

이후 4개의 결과를 더하여 임의의 B.C.에 대해서 결정해주기.

y = b, x ∈ [0, a], u(b, x) = f(x)

Let u(x, y) = F(x)G(y)

$u(0,y) = F(0)G(y), \ u(a,y) = F(a)G(y) \\ \therefore F(0) = F(a)=0$

${d^2 F \over dx^2} G + F{d^2 G \over d y^2} = 0$

${1\over F} {d^2 F \over d x^2 } = -{1\over G} {d^2 G \over d y^2} = -k \\ \text{for}\ k>0$

Gn(0) = 0 ∴ An + Bn = 0

이를 정리하면,

$u_n(x,y) = F_n (x) G_n (y) \\ = A_n^* \sin{n\pi x \over a} \sinh {n\pi y \over a} \\ n=1, 2, 3, 4,\cdots$

Let

$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x,y)$

to satisfy initial condition,

$u(x,b) = \sum_{n=1}^\infty \bigg(A_n^* \sinh {n\pi b \over a } \sin {n \pi x \over a}\bigg) = f(x)$

An* 를 결정됨.

If f, f’ continuous, f’’ piecewise continuous, on 0 ≤ x ≤ a , then u(x,y) is a solution.

12.7 Heat Equation

• Modeling : Very long bar
• Solution by Fourier integral and transform

${\partial u \over \partial t} = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2}$

• initial condition :

u(x, 0) = f(x)

Let u(x, t) = F(x)G(t)

FĠ = c_2_F″G

${F’’ \over F} = {\dot{G} \over c^2 G} = \text{constant} =k$

k ≥ 0, ⋯ F(x) = ax + b, F(x) = 2ex + 3e−x

공학적으로 의미 없는 해. x → ∞, 온도가 발산해버림.

so, k = −_p_2 < 0

F″ + p_2_F = 0 → A(p)cos px + B(p)sin px

Ġ + c_2_p_2_G = 0 → exp (−c_2_p_2_t)

∴ u(x, t; p) = (A(p)cos px + B(p)sin px)e−c_2_p_2_t

arbitary p에 대해서 모두 성립하고, Solution들을 더한 것도 해가 되므로

Let  u(x, t) = ∫0∞u(x, t; p)dp

u(x, 0) = ∫0∞u(x, 0; p)dp = f(x)

위의 u(x,t;p)를 대입하면,

∴ ∫0∞A(p)cos px + B(p)sin pxdp = f(x)

이는 A(p), B(p)가 Fourier Integral Representation을 만족할 경우 Initial condition을 충족함을 알 수 있다.

$\therefore u(x,t) = {1\over \pi} \int_0^\infty \int_{-\infty}^\infty f(v) \cos{(px-pv)} e^{-c^2p^2t} dvdp$

cf)cos (px − pv) = cos px_cos _pv + sin px_sin _pv

Fubini 정리를 통해 dp와 dv의 적분순서를 바꾸어 적분.

$= {1\over \pi } \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(v) \cos{(px-pv)}e^{-c^2p^2t} dpdv$

$= {1\over \pi} \int_{-\infty}^\infty f(v) \int_0^\infty e^{-c^2p^2t} \cos{(px-pv)}dpdv$

FACT :

당연히 exp에 cos이 곱해졌으므로, 원래 exp보다 절댓값이 작을 수 밖에 없으며, exp만 있는게 적분값 존재하므로 위 식도 적분값 존재

p에 대한 적분항만 보면,

If f(x) is bounded for all x and integrable in every finite interval, 위 식 are solutions

• EX)

  $f(x) = \begin{cases} u_0 &\text{if } -1<x<1 \\ 0 &\text{if } \vert x \vert >0 \end{cases}$

  \[u(x,t) = {u_0 \over \sqrt{\pi} } \int_{-1-x \over 2c\sqrt{t} }^{1-x \over 2c\sqrt{t} } e^{-z^2} dz\]
• Solution of PDE using Fourier Solution

• EX)

  ${\partial u \over \partial t} = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2}$

u(x, 0) = f(x)

_u_(_x_, _t_) = ? (fixed t)

$$ \hat{u}(\omega, t) = \cal{F}(u)$$

$\\cal{F}(c^2 u_{xx}) = c^2 \\cal{F}(u_xx) \\\\ = -c^2 \\omega^2 \\cal{F}(u) \\\\ = -c^2 \\omega^2 \\hat{u}(\\omega, t)$